摘要
不久之前, 随着一段关于“后浪”的视频在B站爆红，人们对于“后浪”象征意义和文化内涵的讨论也愈加热烈。然而，除却上述种种关于“后浪”深层内涵和意义的探讨，对于“后浪”，尤其是“浪”本身含义的讨论却鲜见诸公众视野。鉴于这种理论研究的缺失，本文旨在利用简单的非线性动力学理论，解释“后浪”这一现象背后的数学本质，进而分析作为一个合格的“后浪”所应该具有的特质。
关键词：后浪 非线性动力学 孤子
后浪的错误示范——成为韭菜 | 知乎@嘻嘻
引言：什么是“后浪”？
所谓“后浪”，顾名思义，即后面的波浪。
根据《现代汉语规范词典》的解释，“波浪”乃是江河湖海等收到外力作用呈现出的起伏不平的水面。根据起伏的剧烈程度不同，我们定义微小的“浪”为“波”，巨大的“波”（咦？好像混进了什么奇怪的东西？）为“浪”。
人类对于波浪的观察自古有之，但在自然科学中，其概念要更为宽泛：水波、声波、电磁波、风浪、涌浪、近岸浪⋯⋯不一而足。进入十八世纪，达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利、拉格朗日等人对波动方程的系统研究，更是为后人深入认识“波浪”这一物理现象奠定了坚实的数学基础。
达朗贝尔（左上）、欧拉（右上）、丹尼尔·伯努利（左下）、拉格朗日（右下） | Wikipedia
让·勒朗·达朗贝尔，法国物理学家、数学家和天文学家。24 岁成为法国科学院天文学助理院士；
莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，被认为是有史以来最伟大的数学家之一，13 岁考入巴塞尔大学；
丹尼尔·伯努利，约翰·伯努利之子，流体力学和概率与数理统计先驱，21 岁获得博士学位；
约瑟夫·拉格朗日，法籍意大利裔数学家和天文学家，被腓特烈大帝称做“欧洲最伟大的数学家”，19 岁的论文为变分法奠定了理论基础。
——一言以蔽之，都是后浪
早期的数学家主要利用波动方程来描述“波”：
一维波动方程：
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二维波动方程：
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三维波动方程：
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其中 u 代表弦（一维）/水面（二维）/空间（三维）中的一个点在 t 时刻的位置，f 可以简单地理解为这一点所收到的外力。
对于波动方程，只要给出边界条件和初始条件，就可以得出方程的解。
换言之，我们就知道了波上任意一点在任意一个确定的时刻的准确位置。
上图：一维波动方程（如琴弦）的一个解
下图：二维波动方程（如水面）的一个解
（对于波动方程，可以通过Mathematica之类的软件轻松实现可视化。不过既然某基百科上有现成的图，笔者就直接拿来主义了。）
图片来源 | Wikipedia
相较上面我们介绍的“波”，“浪”的原理相对来说更为复杂。以海浪为例，风、天体引力、地震、火山爆发、大气压、海水密度分布等因素都会对其造成影响。
当然，本质上来说，浪可以视作是由无限多个振幅不同、频率各异、方向不定、相位杂乱的波组成的，所以上述波的理论整体上而言仍然适用。
《海贼王》中白胡子发动震震果实的能力，使海面产生许多细小的浪花。这些浪花聚集，最终形成巨浪 | iqiyi
从上面的例子我们不难看出，无论是“波”还是“浪”，似乎都不是稳定的存在。
振幅较小的波会随着传播距离的增加而逐渐形变弥散，最后消失不见。而振幅较大的浪则会在前进的过程中愈发前倾，甚至会在某一时刻形状坍缩，形成浪花。
看起来，“前浪”被拍死在沙滩上，主要还是它自己不稳定，怪不得“后浪”⋯⋯ 不过，要是“后浪”也这么不稳定，岂不是很快就会沦为又一波“前浪”了吗？
凡事并没有这么绝对，譬如今天我们要讲的这个故事。（没想到吧，扯了这么久才刚刚步入正题。）
一个合格的“后浪”：
KdV 方程的孤波解
让我们把故事线跳转到1834年的夏天。
话说，在英国爱丁堡格拉斯哥的运河旁，苏格兰工程师罗素（John Scott Russell）正骑马漫步。突然间，运河中一个奇怪的波浪引起了他的注意。
根据他事后的描述，运河上的船“突然停下来⋯⋯大量河水并不停止，它们汇集在船头附近⋯⋯形成一个圆而光滑、轮廓分明、巨大的孤立的高水头，沿着运河继续前进，没有明显的形状改变和速度减小。”
约翰·罗素（左）vs伯特兰·罗素（右） | Wikipedia
约翰·罗素是苏格兰海军工程师，也就是上面奇怪波浪的发现者，同时还是1851年世博会的发起人。
然而大家一般提起“罗素”，往往指的是《西方哲学史》的作者，提出了“罗素悖论”的伯特兰·罗素。然而他与今天的故事——毫无关系⋯⋯
（这里放上伯特兰·罗素的照片纯粹就是为了防止有的同学认错人。）
考虑到奇怪波浪的形状和移动速度都保持不变，罗素首先用“solitary”来形容这一类波，即孤波（solitary wave）。
为了弄清楚孤波的形成原因，罗素建造了一个一端带有重锥的水槽，用重锤落入水槽的一端来产生孤波。
罗素实验示意图
重锤落水后，产生的孤波以恒定的速度v向右移动并保持形状不变。
在实验中，罗素还发现水槽的静水水深H与孤波的振幅h有如下关系：
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其中k是比例常数。这说明振幅较高的孤波移动速度也更快。此外，实验证明孤波中水的体积相当于重锤排开的水的体积，所以振幅高的波也相对较窄。
不过可惜的是，罗素并没有尝试从流体力学的角度分析这个问题，也没有给出孤波的数学解释，所以在接近半个世纪的时间里，他的研究始终没有受到重视。
直到1895年，荷兰数学家科特韦格（Diederik Korteweg）和德弗里斯（Gustav de Vries）提出了KdV方程，才从数学上肯定了罗素当年的发现。
布辛尼斯克（左）、科特韦格（中）、德弗里斯（右）| Wikipedia
布辛涅斯克，法国数学家。布辛尼斯克在其1877年的著作 中已经得出相关的结论。不过直到1895年科特韦格与他的学生德弗里斯发表了他们关于浅水中小振幅长波运动的方程之后，相关研究才逐渐在学术界得到重视，所以最终也以两人的名字将方程命名为KdV方程。
KdV方程最初写作
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通过变量替换进行简化处理（即无量纲化）后得到
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关于KdV方程的推导，过程稍显冗长，感兴趣的读者可以参考。（事实上笔者确信已找到了一种绝妙的推导方法，可惜这里空白的地方太小，写不下……）
这里的无量纲化，指的是通过合适的变量替换，将方程中涉及物理量的部分的单位移除，总之是一种简化运算的手段。
求解KdV方程的思路有很多，经典的包括行波法、Lax对法、双线性算法、反散射方法等等，这些思路也是现代可积系统研究的主要方向。这里简要介绍行波解的求法。
不失一般性，我们讨论无量纲化的KdV方程
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来源： 人民日报客户端
