根据题意，就要连接OA，OB，可以推出OA=OB，∠AOB=90°，于是可以得到∠OAB=45°，再结合∠OPB=45°，即可得出O，P，A，B四点共圆。由于圆周角定理可推出∠APB=90°，于是出现了直角三角形APB。由于PA:PB=5:14，所以可设PA=5x，则PB=14x，而AB^2就是正方形的面积1989。此时通过勾股定理得到方程，进一步即可求出PB的长。
例题：（初中数学几何题）如图，已知正方形ABCD的中心为点O，正方形的面积为1989平方厘米，P为正方形内的一点，且满足∠OPB=45°，PA:PB=5:14，求PB的长是多少厘米？
今天，数学世界给大家分析一道初中数学几何题，此题的条件很简短，图形也很简洁。这道题并不难，但是对于这样的题目还是有不少同学不会做，就是因为他们不会添加辅助线。解本题的关键是运用四点共圆，正方形的性质以及勾股定理，再把已知条件和未知条件转化到一个直角三角形中求解。下面，我们就一起来分析这道例题吧！
分析：由于正方形是非常特殊的四边形，题中告诉了“正方形ABCD的中心为点O”，那么O点就更特殊了，所以肯定要作辅助线，将O点与正方形的顶点连起来。
根据题意，就要连接OA，OB，可以推出OA=OB，∠AOB=90°，于是可以得到∠OAB=45°，再结合∠OPB=45°，即可得出O，P，A，B四点共圆。
由于圆周角定理可推出∠APB=90°，于是出现了直角三角形APB。由于PA:PB=5:14，所以可设PA=5x，则PB=14x，而AB^2就是正方形的面积1989。此时通过勾股定理得到方程，进一步即可求出PB的长。
解：连接OA，OB，
∵正方形ABCD的中心为点O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠OPB=45°，
∴∠OPB=∠OAB，
∴O，P，A，B四点共圆，
∴∠APB=∠AOB=90°，
在△PAB中，由勾股定理，得：
PA^2 PB^2=AB^2，
∵正方形的面积为1989平方厘米，
∴AB^2=1989,
由于PA:PB=5:14，设PA=5x，则PB=14x，
得（5x）^2 （14x）^2=1989，
解得：x=3或x=-3（舍去）
∴PB=14x=42，
即PB的长是42厘米。（完）
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