D地距A地多远？
第6.1讲 平面向量的概念
教材知识链接
1．向量的定义及表示
(1)定义：既有大小，又有方向的量称为向量．
(2)表示
2．零向量和单位向量
(1)始点和终点相同的向量称为零向量，零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即0；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即0→，零向量的模为0，即|0|＝0.零向量本质上是一个点，因此可以认为零向量的方向是不确定的．
(2)模等于1的向量称为单位向量．e是单位向量的充要条件是|e|＝1．
3．相等向量：把大小相等，方向相同的向量称为相等的向量，记作a＝b.
4．向量平行或向量共线：
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行．因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作a∥b，两个向量平行也称为两个向量共线．
知识点一、向量的有关概念
【典例1-1】 给出下列六个命题：
①若两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若＝，则四边形ABCD是平行四边形；
④在平行四边形ABCD中，一定有＝；
⑤m＝n，n＝k，则m＝k；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中不正确的命题的个数为()
A．2B．3
C．4D．5
【解析】 两个向量始点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有始点相同、终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了．因此⑥也不正确．
答案：C
对向量的有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．
【跟踪训练1-1】1．(多选)下列说法错误的是()
A．有向线段与表示同一向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．单位向量都相等
解析：向量与方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故A，B，D错误．零向量与任何向量都是平行向量，故C正确．
答案：ABD
知识点而、向量的几何表示
【典例2-1】 (1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且||＝，画出所有的向量.
(2)已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东
30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．
①作出向量，，，；
②问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
【审题指导】 (1)先确定起点A，然后确定方向，依据模为确定向量的终点C.
(2)求向量的方向问题时，可根据直角三角形知识求解．
【素养立意】 本题考查向量的几何表示及应用，突出考查直观想象核心素养．
【解析】 (1)画出所有的向量，如图所示．
(2)①由题意，作出向量，，，，如图所示．
②依题意知，三角形ABC为正角形，所以AC＝2000 km，又因为∠ACD＝45°，CD＝1000，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1000 km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的东南方向，距A地1000 km.
用有向线段表示向量的方法
(1)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．
(2)必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
【跟踪训练2-1】．一辆汽车从点A出发，向西行驶了100公里到达点B，然后改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C，最后又改变了方向，向东行驶了100公里达到点D.
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解：(1)如图所示．
(2)由题意知与方向相反，所以与共线，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，又因为||＝||，
所以四边形ABCD为平行四边形，
所以||＝||＝200(公里)．
向量相等与向量共线(变通探究)
【典例3-1】 (课本例1，例2拓展)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形．
(1)找出与向量相等的向量；
(2)找出与向量共线的向量．
【解析】 (1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
(2)由图可得：，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量有，，，，，，.
【变式探究】 在本例中，找出与向量的模相等的向量．
答案：，，，，
向量相等与向量共线的探求方法
(1)寻找向量相等：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)寻找向量共线：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
【跟踪训练3-1】.如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模的大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
解：(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)与模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有与.
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