三、复合函数极限设y=fu=g若limf=A,limg=a则limf=A证明：allε>0∵limf=A∴存在η>0当0<|u-a|<η时，|f-A|<ε对于η>0∵limg=a∴存在δ>0当0<|x-x0|<δ时，|g-a|<η∴|f[g]-A|<ε∴limf=A也就是说，在求极限时，lim可以移到函数的内部去，比如：lim[ln]=ln[lim],
设lim(x->x0)f(x)=A, lim(x->x0)g(x)=B, 则
ps：此时引入一个概念：
若lim(x->x0)f(x)=A，可认为f(x)=A α，α->0 (x->x0)
意思是在x趋向于x0时，函数值等于一个常数加上一个无穷小，下面证明会用到
1、加减法：lim(x->x0)[f(x)±g(x)]=A±B
证明：
f(x)=A α,α->0 (x->x0)
g(x)=B β,β->0 (x->x0)
∴ f(x) g(x)=A B α β
由无穷小性质的值，(α β)->0
∴ f(x) g(x)=A B γ，γ->0 (x->x0)
∴ lim(x->x0)[f(x) g(x)]=A B (减法同理可证)
2、乘法
（1）若k为常数，lim(x->x0)kf(x)=kA
证明：
f(x)=A α, α->0(x->x0)
kf(x)=kA kα
由无穷小的性质(kα)->0 (x->x0)
∴ kf(x)=kA β,β->0 (x->x0)
∴ lim(x->x0)kf(x)=kA
（2）lim(x->x0)f(x)g(x)=AB
证明：
f(x)=A α,α->0 (x->x0)
g(x)=B β,β->0 (x->x0)
f(x)g(x)=(A α)(B β)=AB Bα Aβ αβ
由无穷小的性质(Bα Aβ αβ)->0 (x->x0)
∴ f(x)g(x)=AB γ, γ->0 (x->x0)
∴ lim(x->x0)f(x)g(x)=AB
3、除法：若lim(x->x0)g(x)=B≠0，则lim(x->x0)f(x)/g(x)=A/B
证明：
f(x)=A α,α->0 (x->x0)
g(x)=B β,β->0 (x->x0)
f(x)/g(x)=(A α)/(B β)这样很难用到无穷小的性质证明f(x)/g(x)=A/B ...
所以证明f(x)/g(x)-A/B为无穷小比较方便
|f(x)/g(x)-A/B|=|(A α)/(B β)-A/B|
=|(Bα-Aβ)/B(B β)|=|Bα-Aβ|*1/(|B||B β|)
|Bα-Aβ|可由无穷小的性质证明还是无穷小
对于|Bα-Aβ|
all ε>0
存在δ1>0
当0<|x-x0|<δ1, |Bα-Aβ|<ε (1)
对于1/(|B||B β|)
易证1/(|B||B β)<2/(b^2) (2)
结合（1）（2）
all ε>0
存在δ>0
当0<|x-x0|<δ时，||Bα-Aβ|*1/(|B||B β|)|<ε
所以|Bα-Aβ|*1/(|B||B β|)为无穷小
所以|f(x)/g(x)-A/B|为无穷小
所以lim(x->x0)f(x)/g(x)=A/B
例1：lim(x->2)(3x^2-2x 3)
=lim(x->2)(3x^2)-lim(x->2)(2x) lim(x->2)(3)
......
=11
例2：lim(x->1)[(x^2 x-2)/(x^2-1)]
=lim(x->1)(x^2 x-2)/lim(x^2-1)
......
=3/2
例3：lim(x->∞)[(2x^2-x 2)/(x^2 1)] (分子分母同除以x^2)
=lim(x->∞)[(2-1/x 2/x^2)/(1 1/x^2)]
......
=2
例4：lim(x->∞)[(x^2 2x-1)/(x 1)]
=lim(x->∞)[(1 2/x-1/x^2)/(1/x 1/x^2)] (分子是无穷小，不方便计算，改求原函数倒数)
lim(x->∞)[(1/x 1/x^2)/(1 2/x-1/x^2)]=0
由无穷小无穷大性质
lim(x->∞)[(x^2 2x-1)/(x 1)]=∞
二、一元多次分数极限规律P(x)=anx^n ... a1x a0
Q(x)=bmx^m ... b1x b0
（1）若n=m:lim(x->∞)P(x)/Q(x)=an/bm
（2）若n>m:lim(x->∞)P(x)/Q(x)=∞
（3）若n<m:lim(x->∞)P(x)/Q(x)=0
也就是说，对于一元多次分数的函数，只看分子分母最高次幂是多少。
三、复合函数极限设y=f(u) u=g(x)
若lim(u->a)f(u)=A, lim(x->x0)g(x)=a
则lim(x->x0)f([g(x)])=A
证明：
all ε>0
∵lim(u->a)f(u)=A
∴存在η>0
当0<|u-a|<η时，|f(u)-A|<ε
对于η>0
∵lim(x->x0)g(x)=a
∴存在δ>0
当0<|x-x0|<δ时， |g(x)-a|<η
∴|f[g(x)]-A|<ε
∴lim(x->x0)f([g(x)])=A
也就是说，在求极限时，lim可以移到函数的内部去，比如：
lim(x->x0)[ln(x^2 1)]=ln[lim(x->x0)(x^2 1)]
,
