洛必达法则当然你在大学阶段可以使用。但是只要有水平的出题老师，可以做到让你在大学考试的时候不想用洛必达法则，逼迫你去使用其他的方法求解。
我个人并不反对使用洛必达，甚至非常建议在求极限已经化简比较简单的时候，使用洛必达法则。
使用洛必达法则的一些建议
基本上大的工作已经处理完毕（使用等价无穷小、泰勒展开、加减凑项、确定项代值）后，发现用其他办法不如洛必达稳定。
本身就是比较简单的极限问题，并且求导你很有把握。（大学老师如果禁止你使用洛必达法则，多半有可能是题目太简单了，用洛必达法则可以很稳求解出来）
（慎重考虑）发现其他方法并不好做，并且在确定已经有足够的时间下，使用洛必达法则，暴力计算出来。
为什么我们通常不使用洛必达法则
求极限的方法有多种多样，绝大多数问题都可以通过等价替代、泰勒展开、加减凑项、幂指代换等搞定。
我们经常高估了我们的计算能力，其实很多函数求导本身很复杂，求导之后更加复杂。
有时候判断极限是否是0/0型和 [公式] 型也不容易。
经典例题
例题1:不适合使用洛必达法则
洛必达法则/加减凑配法/等价替代法/拉格朗日中值定求极限: lim
一→0
(3r )”-3
分析:这是一道基础极限题,可以用很多方法求解,就当是复习,解法1:洛必达法则
首先研究对 f ( z )=(3 则)*的求导:幂指代换求导:
f ( r )=(3r )= erhn (3 =),
ra )= chaza [ n (3 时 弄]取对数法求导:
f ( a )=(3a )”一 Inf ( a )= In (3z )”= cIn (3z ),两边求导:
南 r @)= n (8本- G )= a [ n (3 = 兩]= r ( a )= ehaton (3s ]
limeIn (3 )=e0·In3=1.国→0
因此:
(3r )”-3 lim
国→0
erln (3z ) [ In (3z ) 弄 s 】—3I3
느 lim
→0 2T
erIn (3 ) q [ n (8] eihar6 器—3(n3)
느 lim
E →0
e °-ß [ n (3 0) 9]°e · la[ l84oo8】—3.(n3)2
1·(In3) 1·信 )-1·(In3°)_
解法2:等价替代法1
ezIn3[ ezn (3 )-an3-1]
(3z )”—3 eln (3 æ) - e ln3
1im = lim -= lim
T →0 T →0
1·[ rIn (3r )-rIn3] r ·[ In (3r )-In3]
= lim = lim
r →0
In (1g
n (3r )-In3 lnl
lim = lim = lim
r →0 →0
= lim
需→0T
2
解法3:等价替代法2
如果熟悉 y = a ”形式的同学,也可以不用幂指代换.
若工→0时, g ( z )→0且 f ( z )= C ,则 f ( z )9回)—1~ g ( a ) In [1f ( a )].
3[()-
(3z )”—3
lim = lim lim
E →0 z →0
, zIn (1 :)!
一1
= lim = lim 1 lim
面→0
解法4:拉格朗日中值定理
(3十 r )-3= erln (3 )-eln3= e [œ In (3十 r )一rln3], e (rln3, rln (3十 r ))エ→0时,→0, e →1.
(3十 z )”-3 eIn (3 т)erln3 拉格朗日中值定理 e [ rIn (3a .
lim = lim lim
E →0 →0 z →0
rIn (3z )—tIn3 r ·[ In (3r )-In3]
lim = lim
E →0 z →0
3十工
In (3r )-In3
16 = lim = lim
E →0 z →0
lim 工→0
例题2:非常适合使用洛必达法则
求极限: lim 牛 —(1z )
分析:这是一道去年的每日一题,我们可以通过整体换元法,将关于 z 的极限换成关于 y 的极限求解;因为这样进行洛必达法则,只需要将 y 当成自变量求导即可,不需要当成隐函数求导.
解法1:洛必达法则
设 v =( ,则布: i "— =斯
由于 z →0时,(1十 z )→ e ,即 y → e ,我们考虑将其变成关于 y 的极限,则有:
—(=('—)
0m阳完寄“期“— g 一 tioce — tg —学
( 的) in (1 2 In (1十 z )
(2) lim = elim
= elim In (1十3)一王= elim 0z?用-ラ;
观察极限,我们看到了熟悉的 y =(十 z ),那么我们按照之前的套路,对其求导以及求其极限:
V = exma啡立”" dt ,并且 limy =—是之后我们的分子可改写成: e — r 下面就是洛必达了:
原式= i '”二 i "= im "’ v ——
二—— D ——"'— g — D —(别(台) imle — ee —D7]-등[ e "- e ( e -1) y -*].
又因为ェ→0, ye ,于是有:
둥 im [ e *- e ( e -) y ~*]=등 le - e ( e -1) e -*]= gle -( e °- e ) e ~*]=등 le *-( e ·- e ')]= g …—
下面是求'在 z →0时极限的过程:
Iim 以= linexpma立一 h ( ) エー In (1z )
프-(1z ) n (1 )= elim ー In (1 )- zln (1 )= elim 프- In)- elim 픽 rIn (1 エ)
= elim 工(1a )
重0
= elim - — e =—
看完这些之后,你是否对洛必达法则有了一定新的认识呢?
