而把π带入t则得到了人类最牛恒等式，欧拉恒等式，以最简洁的形式表明了最基本的数0，1，π，e，i之间的关系。复数对于这种运动方式可以分别通过指数函数和三角函数来描述。从图形上看，三角函数是指数函数的两个方向的投影，但可以表示三维图像。t=0，欧拉公式蜕化为欧拉恒等式，就表示了圆和三角函数的关系，这就是我们初中学三角函数时为什么总可以借助圆来计算。
随着对材料学的学习深入，涉及到物理和数学的学习也逐步加深，这一过程修正完善了我的世界观。认识到以前以为的很多杂乱无章的事情，其实背后依然受一定规矩的支配，可以用物理模型和数学语言去描述。大到宇宙天体的演变，小到原子量子尺度的规律。整部物理发展期，就是人类认识我们世界深层构成的发展史，而高度抽象的数学，作为强有力的工具，与研究具体现象的物理完美结合，相互促进，从根本上推动了人类社会的发展。如果仅仅从物理学角度看数学，可以发现其实数学是现实世界规律最深层次的反应。也就是说现实世界的规律，总能用数学语言加一描述，反之，数学上的发现，总能在现实世界中找到与之相对应的客体。比如，数系的扩充过程，自然数，分数，负数，无理数这些都能找到具体与之对应的客体。包括自然常数e的发现，类似于π本质上与圆的关系，e本质上是与极限的关系。接着说数系的扩充过程，虚数的出现单从数学上是讲是必然的，因为要表示方程的解，总归会遇到对负数开方。同样，从物理上讲也是必然的。我们先抛开纯粹的数学，从运动的角度去理解虚数。复数平面是由相互垂直实轴和虚轴组成，对于1，乘i，相当于1逆时针旋转90°，变成i，再乘i，相当于再逆时针旋转90°，变成-1，即i乘i=-1，所以i=根号下-1，这就是虚数i的物理意义。同理，再逆时针旋转90°，得到-i，再逆时针旋转90°，回到1。所以说从这个角度来看，虚数就是一种旋转。对于指数函数e（t）自变量t乘i运算，即e（it）则得到的如图所示的螺旋线。这种螺旋结构在数学上至关重要，因为它完美展现了欧拉公式。而把π带入t则得到了人类最牛恒等式，欧拉恒等式，以最简洁的形式表明了最基本的数0，1，π，e，i之间的关系。下面继续回到欧拉公式，因为它涵盖的信息远不如此。还可以帮助我们理解傅里叶变换，我想了解傅里叶变换最直接的原因是想搞明白TEM测试原理。回到欧拉公式，从时间t变化的角度看e（it）就是图中螺旋结构，或者说随着时间的变化，曲线螺旋上升。而e（it）=cost isint，如图所示等式右侧是e（it）图像的两个方向投影之和。一层涵义是同一事物可以在不同纬度去描述。另一层含义就是三维结构可以由二维运算得到。到这里我们可以仔细想想，我们平常观察到的现象是不是仅仅只是更高纬度的投影，了解了量子力学后这个想法更强烈。好了，话题回来，傅里叶变换的本质就是从不同纬度的不同角度来描述同一实物。再插一句，如果我们在银河系中心观察地球的话，一方面地球围绕太阳旋转，另一方面跟着太阳系直线运动，就是图中螺旋上升的运动。
总结下，地球在宇宙中的运动是一方面绕太阳转动，一方面随太阳系运动，而要从数学上描述这种螺旋运动，实数是不够的，需要扩展到复数领域。复数对于这种运动方式可以分别通过指数函数和三角函数来描述。它们是等价的，数学上就是欧拉公式。从图形上看，三角函数是指数函数的两个方向的投影，但可以表示三维图像。t=0，欧拉公式蜕化为欧拉恒等式，就表示了圆和三角函数的关系，这就是我们初中学三角函数时为什么总可以借助圆来计算。因为本质上他们是同一种东西在不同角度的投影。所以说数学在莫方面是反应世界本质规律的一种语言，而物理借助数学语言建立模型帮助我们更直观了解我们的世界。两者的发展在历史上是相互促进的。
