万有引力定律（万有引力定律）

它受到的合外力指向圆心，充当圆周运动所需的向心力这就是行星受到太阳吸引力的比例式。牛顿踩在他的肩膀上，看得更远一些，认为：根据牛顿第三定律，太阳吸引行星，行星同样也在吸引太阳，它们是一对儿相互作用力。也就是说，在引力的存在与性质上，行星和太阳的地位完全等当。牛顿随即开展了横跨天地的“月-地检验”。

历经千年，托勒密推崇的“地心说”被推下神坛，哥白尼的“日心说”登上了太阳系的王位，请一位同学根据你的理解来描述“日心说”指的是什么？太阳系内的行星无一例外都在围绕太阳公转，太阳处于整个太阳系的中心。同学们是否想过：太阳系内的行星为什么像安排好一样那么守秩序，都要围着太阳转呢？在冥冥中是什么作用促使它们这样做呢？

科学猜想不是无本之木，必须有根据。但人的生命是有限的，数星星这件事是无限的。我们不妨拿来主义，在天文学史中，有一对师徒作为黄金搭档，经过大数据、云计算，给出了行星运动的三个“天条”，即“开普勒三大行星运动定律”。开一：“轨道定律”：行星围绕太阳做椭圆轨道的运动，太阳处在一个焦点；开二：“面积定律”：相同时间行星与太阳围成的面积相同；开三：“周期定律”：椭圆轨道半长轴的三次方与周期平方纸币等于一个与中心天体有关的常数。在中学阶段为了简化问题，对开普勒三定律做“圆”的近似处理。开一：行星围绕太阳做圆周运动，太阳处在圆心；开二：行星围绕太阳运动的角速度或线速度的大小时刻相等；开三：圆半径的三次方比周期的二次方等于一个与太阳有关的常数。结合近似处理过的开一和开二，得出行星围绕太阳做什么运动？匀速圆周运动。它受到的合外力指向圆心，充当圆周运动所需的向心力这就是行星受到太阳吸引力的比例式。它最早是由英国科学家胡克发现的，但由于胡克没有清晰的力的概念，只好止步于此；他把研究成果寄给了与他相爱相杀多年的牛顿。牛顿踩在他的肩膀上，看得更远一些，认为：根据牛顿第三定律，太阳吸引行星，行星同样也在吸引太阳，它们是一对儿相互作用力。也就是说，在引力的存在与性质上，行星和太阳的地位完全等当。

至此我们明白：使行星围绕太阳运转的力是引力。太阳在吸引行星，行星也在吸引太阳，二者等大反向。

我们假想，行星之所以围绕太阳运转是因为二者之间存在引力作用，把它们捏合在了一起。进一步设想：既然是太阳与行星之间的引力使得行星不能飞离太阳，那是什么力使得月球绕地球运动，它们之间的作用力也是同一种性质的力吗？又是什么力使物体不能离开地球，总要落回地面呢？1646年的英国正值的瘟疫蔓延，22岁的牛顿走进自家的伍尔斯索普庄园，在一棵苹果树下坐了下来。正在思考这个问题的时候，历史上一个最重要的苹果落下来砸到他的头上。苹果从树上落下来，实际上是一件司空见惯的事情，可这件事却引起牛顿的注意。他想：这个苹果为什么直接落到地面，而不斜着掉，也不往上飞呢？经过这么一砸，牛顿茅塞顿开，他想到：“苹果之所以下落是因为它受到地心的引力作用而出现的现象，地球对苹果的引力与太阳对行星的引力是同一种力吗？”如果真的是，那么地球表面的引力能否延伸到很远的地方，会不会作用到月球上呢？牛顿凭借惊人的观察力与想象力，大胆的给出了自己的猜想：这些力也许真的是同一种性质的力，都遵循“平方反比”的规律。

这个想法的正确性要由事实来检验。牛顿随即开展了横跨天地的“月-地检验”。检验的原理是：假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，苹果环绕地球的轨道半径（苹果到地心的距离）就是地球的半径R，已知月球环绕地球的轨道半径为地球半径的60倍，即60R。m相同的物体，放在月球轨道上受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，大约是地面的根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度）在牛顿的时代，自由落体加速度已经能够比较精确地测定，也能比较精确地测定地球的半径、月球公转的周期以及月球与地球的距离。代入向心加速度的公式，计算结果与我们的预期符合得很好，这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，真的遵从相同的规律！

牛顿是个欲求不满的人，得到这个结论之后，并不满足。他抬头望着一树的苹果在微风吹拂下相互碰撞，认为我们的思想还可以更解放：既然天上的天体间，地上的物体间都具有相同性质的吸引力，那么有没有可能天地之间、宇宙万物的吸引力都是相同的呢？于是他进行了一次合理外推，大胆的把以上结论推广到宇宙中一切物体之间，这就是“万有引力定律”：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。

牛顿得出万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但却无法算出两个天体之间万有引力的大小，因为他不知道“引力常量”G的值。按说算这个G对牛顿而言，就算是对大家而言都是很简单的。因为是万有引力，只要测出：任意两个物体间的吸引力F（弹簧测力计），质量m1和m2（天平），以及距离r（直尺）就可以解出G等于多少了。但牛顿在计算时遇到了一些问题：一般物体由于质量太小导致万有引力太小，不易测量；天体的万有引力虽宏观可测，但是它们的质量又过大不易测算，以至100多年来，G仍没有一个准确的结果。直到1798年，英国人卡文迪许利用扭秤才巧妙测出。G的普适性也为万有引力定律提供了最早的证据。

万有引力定律的特点：

1. 普遍性：任何两个物体之间都存在引力（大到天体小到微观粒子，中微子：只受弱相互作用、万有引力相互作用，不受强相互作用和电磁相互作用；光子也有运动质量，故也受万有引力，如：黑洞吸引光子），它是自然界的物体间的基本相互作用之一。
2. 相互性：两个物体之间相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律。
3. 宏观性：生活中的一个例子：今天走在街上和一个女性擦肩而过，我们互相回头相视莞尔一笑，为什么？就是因为万有引力。开个玩笑，其实是因为万有引力吗？（那是因为什么？这不是我们的重点！我们要研究的是这个）我们来具体计算一下，看看两个人产生的引力是否足以让彼此回头？例题1.我们看到人与人之间的万有引力太小了，甚至比空气阻力还小，根本无法察觉。而真正使人有体感，宏观可测的万有引力产生于天体之间，我们通过计算分析这个力有多大？例题2.所以：通常情况下万有引力非常小，是四种基本相互作用中最小的力。只有在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力很不显著，万有引力可以忽略不计。

万有引力定律的适用范围：

万有引力存在于一切物体之间，不管是否能看成质点都具备万有引力，但公式 具有一定的适用范围：

1. 计算两质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，此时代入公式可求得万有引力；思考“当两物体无限接近，即r→0时，F→∞？”（2根粉笔无限接近，这样做是不是很危险？）（类比欧姆定律的短路电流无穷大）这是不对的，①因为两物体无限接近时，自身的尺度不在是可以忽略的次要因素，已经不能看做质点了。代入公式得到的结果无意义；②万有引力公式属于牛顿经典力学，适用范围是“宏观、低速、弱引力”，当距离无限接近时，不再为宏观态；且根据不确定性原理，距离无限接近确定，速度的不确定性将会无限大，不符合“低速”条件。
2. 计算质点与球体间的引力：r为质点与球心的距离。思考：“当质点进入球心处，r=0,此时的F为多大？”（就像孙悟空钻进铁扇公主肚子里以后，所受力是多大？）各个方向（360°比划）的力抵消为0，或者说代数和为0.（r为无穷远或r为0，万有引力都是0：正如怪盗基德电影所说“能隐藏人的不仅有黑暗，还有极度的光明”）

刘慈欣在科幻小说《带上她的眼》中就想象丰富的描述过地心世界的现象。在小说中，主人公带着一个女孩儿的“眼睛”（传感器）从太空回地球度假。从与女孩的视频交谈中，可以看到女孩处于封闭的舱体中，而且铅笔在空中悬浮，是失重状态；但是女孩儿和主人公的通话却不存在因距离遥远而应有的延迟，这让主人公很是疑惑。度假结束后，主人公回到宇宙空间站，得知女孩并非身在宇航飞船中，而是在“地航飞船”中，这就能够解释得通了。在地球中通信基本是即时的；而且失重现象可以在外太空发生（万有引力全部充当向心力），也可以在地心发生（合力为0）。但是女孩乘坐的地航飞船“落日六号”却永远都到达不了地表了，因为在地核中密度极大，飞船由高密度材料制成，虽然能抗压，但是会下沉。

1. 计算两质量分布均匀的球体之间的引力：r为两球心间距离。补充：“挖补法（等效割补法）”求解非整圆类问题。分两类：①中心挖（正挖）：距离r不变；②侧挖：距离r变化，剩余部分引力=整球引力-挖掉部分引力。

本节课有三个非常美的地方：推导出的引力表达式比“开三”更加简洁，但是内涵更加深刻，体现了物理的“简洁美”（电火花打点计时器比电磁打点计时器结构简单，有一种简约美）；根据“牛三”，从太阳对行星的引力导出行星对太阳的引力，体现了“对称美”，这种对称的思维方式是非常重要的：比方说当年奥斯特发现“电流的磁效应”后，法拉第就对称性的思考：“既然电能生磁，磁是否能生电呢？”于是他发明了“发电机”。另：宇宙的“宇称守恒”；狭义相对论中的“相对性原理”的观察对称性。从两星体之间的引力公式可以归纳、总结出总的引力关系，体现了物理的“和谐之美”（即“统一之美”）（爱因斯坦的“大一统理论”）。这个公式的导出过程就是同学们领略物理之美的审美体验过程。

牛顿与胡克的引力之争：胡克根据开一、开二推导出“平方反比”，寄给牛顿。牛顿加上牛三定律得出万有引力定律；而牛顿的侄女给来访记者伏尔泰的回答是：牛顿通过苹果掉落的观察得出的。