笛卡尔爱心函数解法（笛卡尔的心形函数）

然而，当这一切传到国王耳中时，国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。身体孱弱的笛卡尔回国后很快染上了黑死病，生命进入倒计时。1632年古斯塔夫二世在吕岑之战中去世，年仅6岁的克里斯蒂娜即位成为瑞典女王，并在短短21年的统治期间，带领瑞典进入强盛顶峰。此时的克里斯蒂娜24岁，已经掌权多年。柏拉图认为，在爱情以及恐惧、愤怒、暴怒和痛苦等负面情绪中，胸部占据了主导地位。

本文刊载于《三联生活周刊》2020年第5-6期，原文标题《为什么我们会相信“心形函数”的爱情？》，严禁私自转载，侵权必究

我们既太笃定心形所代表的爱情含义，也过分相信数学对于爱情不确定性的准确表达。

文/陈璐

一封数学情书

发明了解析几何的法国数学家勒内·笛卡尔（René Descartes）和瑞典公主克里斯蒂娜（Kristina）之间，有段十分浪漫的爱情传说，堪称理工科学霸的表白典范。

故事开始于1650年斯德哥尔摩的一个午后，52岁的笛卡尔正在街头研究数学问题。这位法国哲学家、数学家因为黑死病的流行逃到了瑞典，此时全部的财产只有身上破破烂烂的衣服和随身携带的几本数学书。

他专注的神情吸引了一位路过的少女——18岁的克里斯蒂娜。她拿起笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中，笛卡尔发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。两人道别不久后，他接到国王的通知，被聘请为小公主的数学老师。克里斯蒂娜就是这个公主。爱情，在日复一日的相处中悄然萌芽。然而，当这一切传到国王耳中时，国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。最终，在公主的哀求下，笛卡尔被遣返回法国。

身体孱弱的笛卡尔回国后很快染上了黑死病，生命进入倒计时。在最后的日子里，他仍然思念着克里斯蒂娜，每天坚持给她写信，盼望心上人的回音。可是这些信都被国王拦截下来。当笛卡尔寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。这封最后的情书没有写一句话，只有一个方程式：r=a（1-sinψ）。

看不懂这封信的国王召集了全城的数学家，却没有任何人能解开这个方程式。于是他放心地把这封信交给了闷闷不乐的公主。拿到信的克里斯蒂娜立刻找来纸和笔，将这个函数方程在坐标轴上画了出来，一颗心形图案出现在眼前，这是笛卡尔对克里斯蒂娜最后的告白。这个方程，就是著名的“心形函数”。

心形函数极坐标解析式及图像

这段传说既美丽又硬核，符合人们对一位数学家至深告白的全部想象，因此流传甚广，感动无数吃瓜群众。然而，当我决定求证这段故事时，翻遍外网，却都没有找到关于这个故事的记载。这段爱情故事实际上是完全的中国制造，和都市传说一样毫不可信。

历史上，笛卡尔确实担任过克里斯蒂娜的老师，并因她而死，但故事远没有这么浪漫。和传说不同，克里斯蒂娜并不是一位柔弱的公主，她的父亲是著名的北方战神古斯塔夫二世。1632年古斯塔夫二世在吕岑之战中去世，年仅6岁的克里斯蒂娜即位成为瑞典女王，并在短短21年的统治期间，带领瑞典进入强盛顶峰。

1649年9月，53岁的笛卡尔接受了女王克里斯蒂娜的邀请，从荷兰来到瑞典的斯德哥尔摩，担任宫廷教师为女王讲授哲学。此时的克里斯蒂娜24岁，已经掌权多年。克里斯蒂娜对于笛卡尔的到来非常高兴，免去他一切宫廷琐务，只需要每周三次在早上5点前来和她讨论哲学问题。但是，她没有料到的是笛卡尔痛恨早起。因为自幼体弱多病，笛卡尔养成了赖床的习惯，上午11点之前不会起床。刚好，那一年冬天是斯德哥尔摩60年来最寒冷的冬季，所以这场教学成为了一道意料之外的催命符，他很快患上了肺炎，并因此在第二年春天便离开了人世。

法国数学家勒内·笛卡尔

真正和故事中这位公主形象比较相符的其实是波希米亚国王腓特烈五世的长女——伊丽莎白公主。她天性聪慧，求知欲极强，在认识笛卡尔之前就通读了他的大部分著作。自1643年起，笛卡尔与伊丽莎白公主开始通信。伊丽莎白渴望能够搞懂笛卡尔的形而上学问题，特别关注肉体与灵魂之间的关系。她提出的第一个问题就与身心互动有关，但是笛卡尔的回信并没有令她感到满意，所以公主恳请笛卡尔就“灵魂的激情”做出更清楚的说明。这影响了笛卡尔的思考方向，同时也令《灵魂的激情》这本著作得以诞生。

更有意思的是，伊丽莎白还很喜欢数学，一项业余爱好就是解析几何题。笛卡尔曾在给伊丽莎白的信中写道：“经验告诉我，有能力了解形而上学推论方法的人，大多数无法理解代数的结构。而那些能够了解代数的人，又通常没有能力了解形而上学。我尊贵的公主殿下，在我看来，您却同时能够轻易地了解两者。”而公主给笛卡尔的信，总是署名“对您充满深情的朋友致上”。虽然两人相差了22岁，但他们的书信充满了感情，看不出任何年龄的差距。几乎所有的笛卡尔传记作家都猜测，他们是不是有了男女之情，然而谁也无法从这些满是思想讨论的书信中捕获任何证据。

不过，对于笛卡尔去瑞典宫廷担任女王老师的决定，伊丽莎白曾坚决反对，态度异常激烈。后来，当波兰瓦萨王朝的佛瓦蒂斯四世向伊丽莎白求婚时，她断然拒绝，理由竟然是，“我已经爱上了笛卡尔的哲学，并希望为此奉献终身”。

法语爱情诗《梨之恋》所附的插图

人类的心脏，爱情的象征

尽管这个故事纯属虚构，但为什么人们会相信它，其中一项原因自然要怪在这个函数图形独特的形状上。这难免引人胡乱猜测，其背后是否有一个迷人的爱情故事。然而，好笑的是，就连心形函数也并不真的是笛卡尔的发明。

究竟是谁第一个画出这个让人误会的函数，已不可考，但心形函数中所使用的极坐标系，是笛卡尔去世百年后的另一位伟大的数学家——艾萨克·牛顿（Isaac Newton）在他1736年出版的《流数术和无穷级数》中首先应用到平面上的。此外，心形函数的英文名称“Cardioid”，则是意大利数学家卡斯蒂隆（De Castillon）1741年正式命名并发表在英国皇家学会期刊《自然科学会报》上，意为“像心脏的”。

不过，即便心形函数并不是笛卡尔的发明，但作为解析几何的奠基人，没有他便不会有心形函数的诞生，人们便乐得将这个故事安排在了他身上。不过，为什么我们看到心形就会联想到爱情呢？是什么时候，这种图形成为了爱情的标志？

“在13世纪和14世纪之前，它并不意味着爱情。”加州大学洛杉矶分校的中世纪文学教授埃里克·雅格（Eric Jager）在他那本《心形图案的前世今生》中指出。尽管人们看到心形的时候，就会联想到一系列与爱相关的词语，但古希腊人可能会对这种用法感到极度困惑。

现在人们熟悉的这种形状，最早是作为装饰形状出现在许多古希腊陶器上，那些被粗略描绘的叶子等植物图案，环绕成了一个并不复杂的曲线，并不蕴含其他意味。但当爱情的概念在中世纪开始成形时，它的象征意义也随之成形。

早在古希腊，抒情诗就常常把心和爱联系在一起。在已知最早的希腊故事中，诗人萨福为自己“疯狂的心”因爱颤抖而痛苦。她生活在公元前7世纪的莱斯博斯岛，身边围绕着她的女弟子，她为她们写了充满激情的诗歌，比如：爱摇撼了我的心，就像山上的风吹乱了橡树。

希腊哲学家们也或多或少都同意，心脏与人们最强烈的情感有关，包括爱。柏拉图认为，在爱情以及恐惧、愤怒、暴怒和痛苦等负面情绪中，胸部占据了主导地位。亚里士多德进一步扩展了心脏的作用，赋予它至高无上的地位。古罗马人把心和爱联系起来是很平常的事。爱神维纳斯在她儿子丘比特的帮助下点燃了人们的心，而丘比特的箭总是能射中人的心脏。

在心形图像的历史上，常被提及的一幅作品出自1255年诗人蒂博（Thibaut）创作的法语爱情诗《梨之恋》（Le Roman De La Poire）所附的插图，被认为是解剖学文献之外的第一张心脏插图。人们认为，这首诗和这幅图像的灵感来自：一个深陷恋爱中的人可以把他或她的心交给所爱之人，就像诗中的情人把梨给别人一样。然而，诗作插图中这颗心的形状更像一个梨，与我们如今熟知的样子仍然有些差别。

另一个早期将心脏与爱结合在一起的例子来自中世纪手抄卷《马内塞古抄本》，这是一本时间大约在1300到1340年之间的情诗合集。其中一页插图中，一棵奇特的树矗立在一对夫妇之间，形成了一颗心的轮廓，心的纹章上有一个拉丁字母的“爱”。

意大利诗人弗朗西斯科· 巴尔贝李诺的诗歌著作《爱的记录》插图

到了1400年，意大利诗人弗朗西斯科·巴尔贝李诺（Francesco Barberino）的诗歌著作《爱的记录》（Documenti d'amore）出版，大胆描绘了一个裸体的丘比特，站在脖子上戴有心形花环的马背上，射出箭和玫瑰的图像。这个图案很快得到了普及，心形开始出现在挂毯、扑克牌和其他艺术形式上。

如今收藏在卢浮宫的15世纪早期挂毯《心的礼物》（Le don du Coeur），描绘的是一名男子小心翼翼地拿着那颗红色的小心脏，向一位栖息在绿叶中的女子走去，似乎要把这颗心交付于她。这一形象成为“宫廷式爱情”最受欢迎的代表之一。“宫廷式爱情”是支配着欧洲贵族宫廷行为的柏拉图式爱情规则。这一富于幻想的画面在贵族圈子里不胫而走，表现了高尚而有礼貌的爱情。与此同时，1440年，约翰内斯·古腾堡用活字印刷机引发了一场信息革命，心形所代表的爱情含义也就此传播开来，为人广泛接受。

收藏在卢浮宫的15 世纪早期挂毯《心的礼物》

如何用数学找到真爱

“心形函数”故事的另一个迷人之处在于，人们试图在感性的爱情和理性的数学之间建立联系。这可能源自于历史上，许多数学家就尝试运用数学的方法来帮助自己寻求真爱。

如何选择人生伴侣？约会有点像赌博，如果太早安定下来，你可能会错过遇见“真爱”的机会，但如果等待太久，你可能会孤独终老。那么，在你决定和这个人步入婚姻殿堂前，究竟该和多少人约会？这个问题被数学家们称作“最优停止理论”，也叫“未婚妻问题”，20世纪50年代曾在美国数学家之间被反复讨论。普遍认为的是，1949年，美国数学家梅里尔·弗勒德（Merrill M. Flood）首先解决了这个问题，并在1961年由英国统计学家丹尼斯·林德利（Dennis Lindley）首次发表。根据这个理论，要找到最适合结婚的人，你必须忽略前37%的人。

比如你一生中如果会遇到100个求爱者，就应该拒绝掉前37%（即37个），然后从第38个求爱者开始，一旦发现比前面37个都好的人，就果断接受他。不过，37%法则有一个小问题：如果最佳人选本来就在这37%的人里面，错过这37%的人之后，你就再也碰不上更好的了。但你可能无法判断最佳人选是否已经被拒，所以仍会痴痴等待，导致最后将有37%的概率“失败退场”，或者以被迫选择最后一名求爱者的结局而告终。

德国数学家约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）在第一任妻子死于霍乱后，曾尝试用数学方法来寻找下一任妻子。在1613年写的一封信中，他描述了自己如何计划用两年的时间来面试11位可能的未婚妻候选人，并对她们进行排名，然后做出慎重的选择。尽管不知道他所采用的“妻子适当性函数”是什么，但他可能感觉到了“未婚妻问题”的缺陷。开普勒试图回头向他面试的第四个人求婚，但她已经离开了，因此拒绝了他。最终，他选择与11位候选人中的第五位喜结连理。

约翰内斯· 开普勒

与此同时，“最优停止理论”认为，人们应该在“约会期”过去37%之后，才开始寻找他们想要安定下来的伴侣。举个例子，如果一个人想在35岁之前结婚，并且从15岁开始约会，那么他/她应该在15 （35—15）×37%=22.4岁左右开始接受下一个比以前都优秀的对象。

数学家们用数学的方法处理与爱相关的问题比我们所预想的更多。2010年菲尔兹奖得主赛德里克·维拉尼（Cédric Villani）曾在他的日记体自传《一个定理的诞生》中写道：“坐飞机一向只选择经济舱”，因为从统计学意义上来说，“经济舱里的姑娘更可爱”。

2010年，在单身3年后，当时还在华威大学攻读博士学位的数学家彼得·巴克斯（Peter Backus）以《为什么我没有女朋友》为题写了一篇论文。其中，他用一种被称为“德雷克方程”的数学公式，设置了“住在我附近的女性有多少”“多少人年龄适合”“多少人单身”“多少人和我合得来”等一系列问题，计算出全英国适合他的真命天女只有26位。并且他还得出，每晚，他只有1/285000的机会遇到她们中的一位。巴克斯为他的长期单身找到了理由，但他同时感到，要找到合乎标准的对象近乎渺茫。不过，好消息是，巴克斯最终遇到了其中的一个——来自伦敦的女孩罗斯，现在他娶了她。

数学还被运用到了婚姻关系的预测中。心理学家约翰·葛特曼（John Gottman）和数学家詹姆斯·穆雷（James Murray）曾开发了一种数学模型，通过对夫妻对话时的情绪表现进行打分，比如认同加4分、有兴趣加2分、拒绝沟通扣2分，来量化夫妻间吵架时，彼此间的互动和影响，并通过视觉化的图像分析，为遭遇婚姻危机的夫妇提供咨询。

他们发现，最终每对夫妇的分数走势都会慢慢趋于稳定，不会有太大出入。这种趋势代表了这对夫妻之间的问题，如果他们的对话评分曲线一直向下，这就代表两人实在很难彼此欣赏，导致婚姻最终可能走不下去。根据不同的函数图像，葛特曼和穆雷将婚姻分为五类：不稳定型、理智型、逃避型、敌意型和分裂型。其中前三者尽管相处模式不同，但都属于比较能够长久的婚姻。通过对130对伴侣长达12年的跟踪实验，这套模型的总体预测精准度高达94%。葛特曼和穆雷此后将这项研究出版成书，名为《婚姻的数学：动态非线性模型》。

如果说，将爱情和数学联系起来，在以前是专属数学家们的高端玩法，那么如今随着在线约会逐渐普及，数学在爱情中的作用逐渐加强。在日本漫画《恋爱禁止的世界》中，为了解决少子化的问题，日本政府禁止了自由恋爱，改为由政府全面接管。也就是说，政府会通过分析一系列遗传基因和各种数据资料，利用数学模型帮你决定合适的婚姻对象，保证两人之间的契合度。尽管这是一个极端的假设，但越来越多的交友软件正在利用一套数学解决方案来帮助用户匹配潜在的合适人选。

为什么人们总是希望借助数学的力量去解答爱情？伽利略曾说：“数学是描述现实、揭示世界运作原理的语言，这种通用语言现已成为检验真理的黄金标准。”或许，正是因为爱情的不确定性，让人们希望能够用一种准确的语言去加以描述和检验，而数学“非错即对”的标准，也能够为那些在情感中犹豫不决的人们提供直接的解决方案。不过，需要警惕的是爱因斯坦所说的那句话：“数学定律离现实越近就越不确定；数学定律越确定，离现实就越远。”