今天，我们就来体验一下数形结合的魅力。笔者另辟蹊径，用“数形结合”来秒杀这道题。代数的几何表示数形结合的关键就是找到代数表达式的几何意义。如果忽略abc的符号，那么abc表示的就是以P到各坐标轴的垂线段构成的长方体的体积。如果P'的S1/S2比它旁边任意点的S1/S2都要小，那么P'就是所求的最小值点。其实，还可以进一步证明P'向两边滑动时，S1/S2是单调增加的，这个就留给有兴趣的同学了：）收官
数学的两大研究对象：数量和图形。两者结合，方能释放出数学终极奥义。
回顾数学的发展史，每次数形结合都能够诞生出新的数学思想，将整个数学向前推进一大步：
笛卡尔将三维空间与代数结合，诞生了解析几何；
牛顿将非规则图形与级数结合，诞生了微积分；
怀尔斯将椭圆曲线与数论结合，解决了费马大定理……
今天，我们就来体验一下数形结合的魅力。
先看一道号称是北大招生题：
网上答案基本上都是纯粹用代数方法求解的：通过代数变换，用a和b来表示c，再整理成以a的表达式为系数、关于b的一元二次方程，最后用一元二次方程的判别式定理（韦达定理）就可以得到关于a的不等式，从而求出a的最小值。
但是该方法要做大量的代数运算，而且求解过程不够直观。有没有更好的方法呢？
笔者另辟蹊径，用“数形结合”来秒杀这道题。
代数的几何表示数形结合的关键就是找到代数表达式的几何意义。
a,b,c的平方和等于1，根据球的代数方程可知，如果把a,b,c分别看作三维坐标系中的分量，那么a,b,c表示的点P，正好落在以坐标原点O为球心、半径为1的球上。
如果忽略abc的符号，那么abc表示的就是以P到各坐标轴的垂线段构成的长方体的体积。
那么(1-b)、(1-c)表示的是什么呢？从下图可以看出：
bc=左下角阴影长方形的面积S1，
(1-b)=右上角阴影长方形的长，
(1-c)=是右上角阴影长方形的宽，
所以(1-b)(1-c) = S2
所以，abc=(a-1)(b-1)(c-1)表示的几何意义就是：
保持长方体的体积不变，长方体的横截面积从S1变成S2时，高从|a|变成|1-a|
从而|1-a|/|a| = S1/S2
既然a要尽可能小，那么a取负值更好，此时：
|a|=-a，|1-a| = 1-a，
|1-a|/|a| = 1-a/(-a) = -1/a1
显然，a越小，上式的值越小，从而S1/S2越小
求极值的传统套路第一步：将目标式整理成多元函数，然后对多元函数求偏导数，令偏导数为0得到联立方程组，从而得到驻点的坐标
第二步：根据判别式，判断驻点是否是极值，如果是极值是极大值还是极小值
第三步：检查边界点，比较之后得到最终的最大值或者最小值
因为点在球面上，所以可以用传统的球面角关系得到S1/S2关于ɑ和Θ的二元函数。
具体过程如下：
由上图可知：若设O'P = r，则：
S1 = (r^2)sinɑcosɑ
S2 = (1-rsinɑ)(1-rcosɑ)
所以S1/S2 = (r^2)sinɑcosɑ / (1-rsinɑ)(1-rcosɑ) （式1）
由上图可知：
OP就是球的半径，所以OP = 1
r = O'O = OPsinΘ = sinΘ （式2）
将式2代入式1得到：
S1/S2 = (sinΘ^2)sinɑcosɑ / (1-sinΘsinɑ)(1-sinΘcosɑ) （式3）
很显然，对上式求偏导数，计算量不小，那么有没有更简单、更直观的方法呢？
告别思维定式、将数形结合进行到底从下图可以看出：
1. S1/S2随着P点沿圆周运动而变化
2. 当P移动到与对角线镜像对称的Q点时，对应阴影长方形与P点的阴影长方形是对称的。
这意味着：Q点的S1/S2 = P点的S1/S2
很自然地，我们会想到：
对角线与圆周的交点P'的S1/S2与它旁边的点P的S1/S2的大小关系是怎样的呢？
如果P'的S1/S2比它旁边任意点的S1/S2都要小，那么P'就是所求的最小值点。
P'点有一个很好的性质：P'点对应的两个阴影长方形都是正方形。
为方便后面的描述，假设：
P'点对应的左下角正方形的边长为L1，右上角的正方形边长为L2
则L1 L2=1
当P'移动到P时：
1. S1上半部缩减面积S1-、下半部向右延伸S1 ，净增加量delta1=(S1 )-(S1-)
2. S2上半部缩减面积S2-、下半部向下延伸S2 ，净增加量delta2=(S2 )-(S2-)
我们来简单计算一下S1 、S1-、S2 、S2-：
假设P'与P横向坐标距离为d，纵向坐标距离为h，那么：
S1- = hL1-hd
S1= dL1-hd
S2= hL2-hd
S2- = dL2-hd
所以：
delta1 = (dL1-hd)-(hL1-hd) = (d-h)L1 （式4）
delta2 = (hL2-hd)-(dL2-hd) = (h-d)L2 （式5）
由上图可知：
P'的切线的斜率 = 1，横向坐标与纵向坐标相等
P'的切线的斜率 < P的切线的斜率
可以推出：P的横向坐标 < P的纵向坐标
而
d = |P'的横向坐标 - P的横向坐标|
h = |P'的纵向坐标 - P的纵向坐标|
从而：d>h
代入式4和式5，得到：
delta1 = (d-h)L1 > 0
delta2 = (h-d)L2 < 0
P点的S1=P'点的S1delta1 > P'点的S1
P点的S2=P'点的S2delta2 < P'点的S2
相当于P'的S1/S2的分子增大、分母减小，那么整体值就增大
这意味着：P点的S1/S2 > P'的S1/S2
由P点的任意性可得：
P'的S1/S2比它旁边任意点的S1/S2都要小，P'就是所求的最小值点。
其实，还可以进一步证明P'向两边滑动时，S1/S2是单调增加的，这个就留给有兴趣的同学了：）
收官
